Les màquines de Turing

Turing Bomber Machine Codebreaker

Alan Turing és probablement l'ultim d'una llarga saga de pensadors que van formar part d'una edat d'or de la lògica formal: Leibniz, Boole, Frege, Peano, Hilbert, Russell ... Però va fer una cosa que cap altre lògic havía fet abans: guanyar una guerra. Tots els experts coincideixen que de no haver estat per la màquina de Turing, la Segona Guerra Mundial no s'hagués pogut guanyar fins a almenys dos anys més tard, si es que s'hagués pogut guanyar.

Turing va ser un estudiant de Cambridge, atret pels Principia Mathematica de Russell i l'intent de resolució de la seva paradoxa. De la mateixa manera que Gödel va voler analitzar el funcionament dels sistemes axiomàtics, però a diferència de tots els altres lògics, Turing va centrar-se en el fet que la lògica és un mecanisme, i va idear una màquina teòrica capaç de calcular qualsevol deducció formal. Aquesta màquina teòrica es coneix com a Màquina Universal de Turing. Amb ella no sols va confirmar els resultats de Gödel, sinó que va establir les bases per al naixement d'una nova disciplina: la Intel·ligència Artificial, de la que parla a un dels seus articles més famosos: Poden pensar les màquines?

Poc després d'esclatar la Segona Guerra Mundial, el govern britànic va cridar a Turing perquè s'unís l'equip de trenca codis, encarregant-li el desxiframent de l'áparell d'encriptació més gran fins llavors: la màquina Enigma de la marina nazi. Turing va fer construir una versió de la seva Màquina Universal, la Turing Bomber Machine Codebreaker, que va esdevenir el primer ordinador de la història.

Gödel i la teoria de la incompletesa

El jove que havia enfonsat la carrera de Frege, Bertrand Russell, va patir en pròpia carn la maledicció de la paradoxa que portava el seu nom. Russell volia fer realitat el vell somni d'Euclides, Leibniz i Frege: demostrar la matemàtica des dels seus fonaments. El problema era que la seva paradoxa havia bloquejat qualsevol intent fet des de la Teoría de Conjunts, de manera que els avenços de Cantor quedaven inutilitzats.

Russell va trigar deu anys per neutralitzar els efectes de la seva paradoxa epònima, en un llibre escrit en col·laboració amb Whitehead, anomenat Principia Mathematica, una obra monumental en tres volums i més de mil pàgines on s'elabora una teoria de tipus d'entitats lògiques tan complicada que, tot i gaudir de gran fama acadèmica, el mateix Russell reconeixia que es tractava d'un llibre escrit per a que no el llegís ningú.

No va ser fins als anys 30 que un jove vienè anomenat Kurt Gödel, en una tesi doctoral de poc més de trenta pàgines, va demostrar matemàticament que era impossible demostrar des dels fonaments qualsevol sistema axiomàtic en el que es va coneixer com a Teoria de la incompletesa. Va publicar els seus resultats en un article que es considera l'elegia de les esperances formalistes de les matemàtiques: Sobre proposicions formalment indecidibles dels "Principia Mathematica" i sistemes afins.

Quan  a Cambridge va arribar la notícia de que Gödel acabava d'aixecar l'acta de defunció de l'obra capital de Whitehead i Russell, aquest últim va dir: "Pensava que mai ningú no arribaria a llegir-se els tres volums".

Gödel xerrant amb un company de feina a Princeton

Paradoxes i sistemes axiomàtics

Conceptografía de Frege

El lògic Gottileb Frege va dedicar tota la seva vida a desenvolupar la demostració dels principis bàsics de la matemàtica, tal com havia fet Euclides amb la geometria: partint únicament d'uns quants axiomes, tasca per a la qual va fer servir la teoria de conjunts de Cantor. Però quan l'obra de la vida estava en premsa, a punt de veure la llum, va rebre la carta d'un jove estudiant de Cambridge que afirmava haver trobat una paradoxa al raonament de Frege que arruïnava tots els seus descobriments. Frege va intentar impedir la publicació del seu propi llibre, però la inversió editorial ja estava feta, de manera que tan sols va poder afegir una nota al final explicant que tot el que havia exposat, l' obra de la seva vida, havia de considerar-se errònia a causa d'aquella paradoxa que li havia fet arribar un jove filòsof. Aquell jove estudiant es deia Bertrand Russell, i la seva paradoxa ha passat a la història amb el nom de Paradoxa de Russell.

Bertrand Russell, descobridor de la famosa paradoxa que porta el seu nom

Les paradoxes són mortals per a un sistema axiomàtic, ja que aquests sempre tracten de preservar la veritat en un sistema deductiu i rebutjar les afirmacions inconsistents amb els axiomes. Però les paradoxes, al ser vertaderes i falses a l'hora, no poden ser acceptades ni rebutjades, i el sistema es col·lapsa.

Georg Cantor

L'any 1918, desprès de passar per diversos sanatoris mentals, moria a Alemanya Georg Cantor. Alguns creuen que havía embogit intentant comprendre l'infinit, d'altres que el seu caràcter depressiu i les seves investigacions no tenen cap relació. El cas es en la batalla que l'enteniment ha lliurat durant mil·lennis per la conquesta de l'infinit, ningú ha tornat a endinsar-se en territoris tan desconeguts, ni tan propers a la comprensió total del que tothom donava com a incomprensible com Cantor.
El seu encert va ser fer servir les eines matemàtiques del seu mestre Dedekind per a solucionar problemes de caràcter filosòfic, en especial, la naturalesa de l'infinit. Aquest era un problema amb el qual els matemàtics portaven lidiant gairebé dos segles, des que Newton i Leibniz havien descobert el càlcul infinitesimal, però els matemàtics no es preocupaven més que per la part pràctica de la qüestió: com treballar amb sèries convergents, sense parar-se a pensar en les seves implicacions filosòfiques. I no per falta d'interès, sinó perquè precisament la filosofia havia dut a grans paràlisis de les matemàtiques, com la paradoxa de Zenó, o el descobriment (i secret) pitagòric de l'arrel de 2. Cantor va ser capaç d'enfrontar-se tot sol a aquestes qüestions valent-se unicament de la Teoria de Conjunts. Potser aquest esforç el va acabar passant factura.

La paradoxa del mentider

---
LA FRASE SEGÜENT ÉS FALSA

LA FRASE ANTERIOR ÉS VERTADERA
---

L'anterior és una de les modalitats de la paradoxa del mentider en la que cadascuna de les frases pot ser verdadera o falsa per separat, però la veritat de les quals és impossible de determinar quan es prenen en conjunt.

El primer a proposar aquesta paradoxa va ser Epiménides de Creta, quan va dir que tots els cretencs mentien cada vegada que obríen la boca. Donat que ell mateix era cretenc, també hauria de ser fals tot el que dèia, incloent-hi l'afirmació del fet que els cretencs sempre mentien. Però, si un diu que menteix i en això diu la veritat, llavors menteix o diu la veritat?

Bochenski ha rastrejat les següents formulacions al llarg de la història:

1. Si dius que menteixes i en això dius la veritat: (llavors) menteixes o dius la veritat?
2. Si menteixo i dic que menteixo, menteixo o dic la veritat?
3. quan dius que menteixes, i dius la veritat, (llavors) menteixes; però dius que menteixes, i dius la veritat; per tant menteixes.
4. Si menteixes, i dius la veritat, menteixes.
5. Dic que dic mentides, i (amb això) menteixo; per tant dic la veritat.
6. Mentint dic l'enunciat vertader que menteixo.
7. Si és veritat, és fals; si és fals, és veritat.
8. El que diu "menteixo", menteix i diu la veritat a l'hora.

La relació dels quatre grups (I--II, III--IV, V--VI i VII--VIII) entre si, és la següent: els textos del primer grup plantegen simplement la qüestió: és vertader o fals el mentider? Els del segon grup, conclouen que és vertader, els del tercer, que és fals. Els del quart grup treuen les dues conclusions al mateix temps: la proposició és tant vertadera com falsa.

J.M. Bochenski, Història de la Lògica Formal

, pp. 142--143.

Derivació formal

Plantejar en forma d'enigma si es poden deduir un conjunt de signes d'un altre conjunt de signes i establir una breu discussió entre tota la classe:

1.- ¿Podem deduir §§§ d' §?

2.- ¿i § de §§§?

3.- ¿i ß de §§§?

La tendència dels alumnes és respondre que depèn del que signifiquin, i l'objectiu d'aquesta activitat és mostrar que quan treballem amb derivacions lògiques no fem servir els significats per a res. El que importa són només les regles de derivació.