Paradoxes i sistemes axiomàtics

Conceptografía de Frege

El lògic Gottileb Frege va dedicar tota la seva vida a desenvolupar la demostració dels principis bàsics de la matemàtica, tal com havia fet Euclides amb la geometria: partint únicament d'uns quants axiomes, tasca per a la qual va fer servir la teoria de conjunts de Cantor. Però quan l'obra de la vida estava en premsa, a punt de veure la llum, va rebre la carta d'un jove estudiant de Cambridge que afirmava haver trobat una paradoxa al raonament de Frege que arruïnava tots els seus descobriments. Frege va intentar impedir la publicació del seu propi llibre, però la inversió editorial ja estava feta, de manera que tan sols va poder afegir una nota al final explicant que tot el que havia exposat, l' obra de la seva vida, havia de considerar-se errònia a causa d'aquella paradoxa que li havia fet arribar un jove filòsof. Aquell jove estudiant es deia Bertrand Russell, i la seva paradoxa ha passat a la història amb el nom de Paradoxa de Russell.

Bertrand Russell, descobridor de la famosa paradoxa que porta el seu nom

Les paradoxes són mortals per a un sistema axiomàtic, ja que aquests sempre tracten de preservar la veritat en un sistema deductiu i rebutjar les afirmacions inconsistents amb els axiomes. Però les paradoxes, al ser vertaderes i falses a l'hora, no poden ser acceptades ni rebutjades, i el sistema es col·lapsa.