Postulats d'Euclides

Un bon exercici per a entendre com funcionen els postulats és intentar relacionar els fets amb els seus enunciats. Això en el cas d'Euclides vol dir: els enunciats dels postulats amb les seves representacions geomètriques:

Postulem que entre dos punts qualsevol hi passa una recta
I que aquesta es pot perllongar contínuament de recta finita a línia recta
I que es pot descriure un cercle amb qualsevol centre i qualsevol diàmetre
I que tots els angles rectes són iguals entre si
I que la distancia entre dues paral·leles és la mateixa en tots els seus punts.

Aquest cinquè postulat ha estat problemàtic al llarg de tota la història, i al segle XIX es van confirmar les sospites de molts matemàtics: es pot demostrar tant la seva veritat com la seva falsedat. Això va atreure l'atenció sobre la decidibilitat de les proposicions lògiques, és a dir, va plantejar la pregunta de si en tota proposició lògica es pot decidir si és o bé vertadera o bé falsa.