Les paradoxes de Zenó l'Eléata

Zenó negava el moviment. Deia que una fletxa no podia solcar l'espai i, necessàriament havia de romandre detinguda, suspesa en l'aire sense poder avançar un sol centímetre. Aquest pensador va viure a la polis grega d'Elea al segle V a.C. va fundar una escola de pensadors que només es refiaven de les conclusions a les quals els portava la raó, i desconfiaven completament de la informació ambigua que ens donen els sentits.

L'argument dels eleates era el següent: si un objecte s'ha de moure entre dos punts, A i B, primer trigarà un temps x a recórrer la meitat de la distància, i després un altre temps x' en recórrer la meitat de l'altre meitat, i després trigarà x'' en recórrer la meitat de la meitat de la meitat d'AB... i així successivament, fins que la distancia entre l'objecte i el punt B sigui 0.

El problema és que perquè això passi, haurem de trobar una distància que dividida per la meitat sigui zero, i donat que aquesta distància no existeix, hem de concloure que l'objecte mai arribarà al seu destí. De fet, mai arribarà enlloc, perquè sempre haurà d'emprar un temps infinit en realitzar el més mínim desplaçament.

Conclusió: el moviment no existeix. El que els sentits ens mostren és un engany.

Postulats d'Euclides

Un bon exercici per a entendre com funcionen els postulats és intentar relacionar els fets amb els seus enunciats. Això en el cas d'Euclides vol dir: els enunciats dels postulats amb les seves representacions geomètriques:

Postulem que entre dos punts qualsevol hi passa una recta
I que aquesta es pot perllongar contínuament de recta finita a línia recta
I que es pot descriure un cercle amb qualsevol centre i qualsevol diàmetre
I que tots els angles rectes són iguals entre si
I que la distancia entre dues paral·leles és la mateixa en tots els seus punts.

Aquest cinquè postulat ha estat problemàtic al llarg de tota la història, i al segle XIX es van confirmar les sospites de molts matemàtics: es pot demostrar tant la seva veritat com la seva falsedat. Això va atreure l'atenció sobre la decidibilitat de les proposicions lògiques, és a dir, va plantejar la pregunta de si en tota proposició lògica es pot decidir si és o bé vertadera o bé falsa.

Axiomes i geometría

Euclides és el pare dels sistemes axiomàtics. Va viure a la Grècia antiga, poc després d'Aristòtil, i sembla que la seva vida es desenvolupà a l'òrbita de la ciutat d'Alexandria, la capital cultural a la tardor de la Hèl·lade.

Euclides va compilar tot un conjunt de lleis geomètriques que resumien el que els grecs havien après durant segles de l'agrimensura egípcia. Ja els pitagòrics havien donat una nova personalitat a aquelles tècniques, sota el nom de γεωμετρία, és a dir, geometria, però en mans d'Euclides, es va produir una nova mutació: totes i cadascuna dels centenars de lleis geomètriques compilades pel matemàtic es podien deduir de només cinc postulats bàsics. Per tant, si es demostraven aquells cinc postulats, quedava demostrada tota la geometria.

Però perquè els postulats d'Euclides tinguessin sentit, eren necessàries certes definicions de termes, així com certes afirmacions indubtables, però també indemostrables. Aquestes afirmacions reben el nom d'axiomes, i amb elles Euclides va construir el primer sistema axiomàtic conegut.

Benvinguda

Benvinguts a la bitàcola lògica formal per a primer de batxillerat.

Un dels objectius principals d'aquesta unitat és proporcionar el vocabulari necessari per a poder identificar si un raonament pertany a la lògica formal i informal. Un cop assolit aquest objectiu, estarem en condicions de construir els nostres primers raonaments formals derivant una tesi de diverses premisses, així com d'intentar refutar les tesis contràries a les nostres, intentant trobar falles en l'ús de les seves regles de derivació.

Serà convenient cercar i treballar el següent vocabulari: demostració, refutació, proposició, axioma, derivació, consistència, completesa i decidibilitat.

Donat que el concepte d'implicació lògica és el fonament d'aquesta unitat didàctica, es treballen amb especial intensitat les estructures condicionals i la relació entre la seva sintaxi i les implicacions del seu significat semàntic.